Le système d'inégalités est une solution. Système d'inégalités linéaires

Les inégalités et les inégalités sont l'un descelui qui se déroule au lycée en algèbre. Au niveau de la complexité, ce n'est pas le plus difficile, car il a des règles simples (à leur sujet un peu plus tard). En règle générale, les étudiants peuvent facilement résoudre le système d'inégalités. Cela est également dû au fait que les enseignants «forment» simplement leurs étudiants sur ce sujet. Et ils ne peuvent pas le faire, car il est étudié à l'avenir avec l'utilisation d'autres quantités mathématiques, et est également vérifié pour OGE et USE. Dans les manuels scolaires, le sujet des inégalités et des inégalités est décrit en détail, donc si vous allez l'étudier, il vaut mieux y recourir. Cet article ne raconte que les gros matériaux, et il peut y avoir quelques omissions.

Le concept d'un système d'inégalités

Si vous vous tournez vers le langage scientifique, vous pouvez donnerdéfinition du concept de "système d'inégalités". C'est un modèle mathématique qui représente plusieurs inégalités. A partir de ce modèle, bien sûr, il a besoin d'une solution, et sa capacité d'agir comme une réponse commune pour toutes les inégalités du système proposé dans le travail (généralement dans et écrire, par exemple: « Résoudre le système des inégalités 4 x + 1> 2 et 30 - x > 6 ... "). Cependant, avant de passer aux types et aux méthodes de solutions, nous devons trouver quelque chose.

Systèmes d'équations et les inégalités

Dans le processus d'étude d'un nouveau sujet très souventil y a des malentendus. D'une part, tout est clair et veut plutôt commencer à résoudre des tâches, et d'autre part - certains moments restent dans «l'ombre», pas très bien compris. En outre, certains éléments des connaissances déjà acquises peuvent être liés à de nouveaux éléments. En raison de ce «chevauchement», des erreurs se produisent souvent.

Par conséquent, avant de commencer notre analyse de notresujet, vous devriez vous rappeler des différences entre les équations et les inégalités, leurs systèmes. Pour ce faire, nous devons expliquer une fois de plus ce que sont les concepts mathématiques. L'équation est toujours l'égalité, et c'est toujours quelque chose d'égal (en mathématiques ce mot est désigné par le signe "="). L'inégalité est un modèle dans lequel une quantité ou plus, ou moins qu'une autre, ou contient la déclaration qu'ils ne sont pas les mêmes. Ainsi, dans le premier cas, il est approprié de parler d'égalité, et dans le second cas, aussi évident que cela puisse paraître du titre, l'inégalité des données originales. Les systèmes d'équations et d'inégalités ne diffèrent pratiquement pas les uns des autres et les méthodes pour les résoudre sont les mêmes. La seule différence est que dans le premier cas, nous utilisons des égalités, alors que dans la seconde, l'inégalité est utilisée.

Types d'inégalités

Il existe deux types d'inégalités: numérique et variable inconnue. Le premier type représente les valeurs fournies (nombres) non inégales, par exemple, 8> 10. Le second est constitué par les inégalités contenant une variable inconnue (indiquée par une lettre de l'alphabet latin, le plus souvent X). Cette variable nécessite son emplacement. Selon le nombre, il existe dans le modèle mathématique des inégalités avec une (constituent un système d'inégalités avec une variable) ou plusieurs variables (constituent un système d'inégalités avec plusieurs variables).

Les deux dernières espèces en fonction de leur degré de construction etLe niveau de complexité de la solution est divisé en simple et complexe. Les simples sont aussi appelés inégalités linéaires. Ils sont à leur tour subdivisés en strictes et faibles. Strictement spécifiquement "dire" qu'une valeur doit être inférieure ou supérieure, il s'agit donc d'une pure inégalité. Il y a plusieurs exemples: 8 x + 9> 2, 100 - 3 x> 5, etc. Les non-restrictifs incluent également l'égalité. C'est-à-dire qu'une valeur peut être supérieure ou égale à une autre valeur (signe "≥") ou inférieure ou égale à une autre valeur (signe "≤"). Même dans les inégalités linéaires, la variable n'est pas dans la racine, dans le carré, elle n'est pas divisée en quoi que ce soit, à cause de ce qu'elles sont appelées "simples". Les plus complexes incluent des variables inconnues, dont la découverte nécessite d'effectuer davantage d'opérations mathématiques. Ils sont souvent situés dans un carré, un cube ou sous la racine, peuvent être modulaires, logarithmiques, fractionnaires, etc. Mais puisque notre tâche est de comprendre la solution des systèmes d’inégalité, nous parlerons du système d’inégalités linéaires. Cependant, avant cela, il convient de dire quelques mots sur leurs propriétés.

Propriétés d'inégalité

Les propriétés des inégalités comprennent les dispositions suivantes:

1. Le signe d’inégalité est inversé si une opération est utilisée pour modifier les côtés suivants (par exemple, si t₁ ≤ t₂alors t₂ ≥ t₁).
2. Les deux parties de l'inégalité permettent de s'ajouter le même nombre (par exemple, si t₁ ≤ t₂alors t₁ + nombre ≤ t₂ + numéro).
3. Deux ou plusieurs inégalités portant le signe de la même direction, vous permettent d’ajouter leurs parties gauche et droite (par exemple, si t₁ ≥ t₂, t₃ ≥ t₄alors t₁ + t₃ ≥ t₂ + t₄).
4. Les deux parties de l’inégalité se permettent d’être multipliées ou divisées par le même nombre positif (par exemple, si t₁ ≤ t₂ et le nombre ≤ 0, puis le nombre · t₁ ≥ nombre · t₂).
5. Deux inégalités ou plus avec des termes positifs et le signe d’une direction permettent de se multiplier (par exemple, si₁ ≤ t₂, t₃ ≤ t₄, t₁, t₂, t₃, t₄ ≥ 0 alors t₁ · T₃ ≤ t₂ · T₄).
6. Les deux parties de l’inégalité se permettent d’être multipliées ou divisées par le même nombre négatif,₁ ≤ t₂ et le nombre ≤ 0, puis le nombre · t₁ ≥ nombre · t₂).
7. Toutes les inégalités ont la propriété de transitivité (par exemple, si t₁ ≤ t₂ et t₂ ≤ t₃alors t₁ ≤ t₃).

Maintenant, après avoir étudié les principes de base de la théorie relative aux inégalités, nous pouvons passer directement à la considération des règles pour résoudre leurs systèmes.

Résoudre les systèmes d'inégalité. Informations générales Des solutions

Comme mentionné ci-dessus, la décision estvaleurs variables qui correspondent à toutes les inégalités d'un système donné. La solution des systèmes d'inégalité consiste à mettre en œuvre des opérations mathématiques qui aboutissent à la résolution de tout le système ou prouvent qu'il n'a pas de solution. Dans ce cas, on dit que la variable fait référence à un ensemble numérique vide (écrit comme suit: lettre variable ∈ (signe "appartient") ø (signe "videset "), par exemple, x ø ø (comme suit:" La variable "X appartient à l'ensemble vide"). Il existe plusieurs façons de résoudre les systèmes d'inégalité: graphique, algébrique, substitution. Il convient de noter qu'ils appartiennent aux modèles mathématiques avoir plusieurs variables inconnues. Dans le cas où il n'y en a qu'une, la méthode d'intervalle fera l'affaire.

Manière graphique

Permet de résoudre un système d’inégalités à plusieursvaleurs inconnues (à partir de deux et plus). Grâce à cette méthode, le système d'inégalités linéaires est résolu assez facilement et rapidement, c'est donc la méthode la plus courante. Cela est dû au fait que le traçage réduit le nombre d'opérations mathématiques écrites. En particulier, il devient agréable de s’éloigner un peu du stylo, de prendre un crayon avec une règle et de procéder à des actions supplémentaires avec son aide, lorsque beaucoup de travail est fait et que vous souhaitez un peu de variété. Cependant, certaines personnes n'apprécient pas cette méthode en raison du fait qu'elles doivent rompre avec la tâche et passer de l'activité mentale au dessin. Cependant, c'est un moyen très efficace.

Remplir la solution du système d’inégalités avecEn utilisant la méthode graphique, il est nécessaire de transférer tous les membres de chaque inégalité sur leur côté gauche. Les signes seront inversés, le droit devrait être noté zéro, vous devez ensuite noter chaque inégalité séparément. En conséquence, les inégalités se traduisent par des fonctions. Après cela, vous pouvez obtenir un crayon et une règle: vous devez maintenant tracer un graphique de chaque fonction obtenue. L'ensemble des nombres, qui seront dans l'intervalle de leur intersection, sera une solution au système des inégalités.

Méthode algébrique

Permet de résoudre un système d'inégalités à deuxvariables inconnues. De plus, les inégalités doivent avoir le même signe d’inégalité (c’est-à-dire qu’elles ne doivent contenir que le signe "plus" ou uniquement le signe "moins", etc.). Malgré ses limites, cette méthode est également plus complexe. Il est appliqué en deux étapes.

Le premier comprend l'action pour se débarrasser deune des variables inconnues. Vous devez d’abord la sélectionner, puis vérifier la présence de nombres devant cette variable. Si ce n'est pas le cas (alors la variable ressemblera à une seule lettre), nous ne changerons rien s'il existe (le type de la variable sera, par exemple, 5y ou 12y), alors il faut s'assurer que dans chaque inégalité, le nombre précédant la variable sélectionnée est le même. Pour ce faire, multipliez chaque terme d'inégalité par un facteur commun, par exemple, si 3y est écrit dans la première inégalité et 5y dans la seconde, tous les membres de la première inégalité sont multipliés par 5 et le second par 3. Il en résultera respectivement 15y et 15y.

La deuxième étape de la décision. Il est nécessaire de transférer la partie gauche de chaque inégalité vers la droite avec un changement du signe de chaque membre à l'opposé, pour écrire à droite. Vient ensuite la chose la plus intéressante: se débarrasser de la variable sélectionnée (on parle alors de "réduction") lors du repliement des inégalités. Nous obtenons une inégalité avec une variable à résoudre. Après cela, vous devriez faire la même chose, mais avec une autre variable inconnue. Les résultats seront la solution du système.

Méthode de substitution

Permet de résoudre un système d’inégalités en présence dela possibilité d'introduire une nouvelle variable. Habituellement, cette méthode est utilisée lorsque la variable inconnue d'un membre de l'inégalité est élevée à la quatrième puissance et que l'autre membre a un carré. Cette méthode vise donc à réduire le degré d’inégalités dans le système. Échantillon x inégalité⁴ - x² - 1 ≤ 0 de cette manière est résolu comme suit. Une nouvelle variable est introduite, par exemple, t. Ils écrivent: "Let t = x²", alors le modèle est réécrit sous une nouvelle forme. Dans notre cas, nous obtenons t² - t - 1 ≤0. Cette inégalité doit être résolue par la méthode des intervalles (à ce sujet un peu plus tard), puis revenez à la variable X, puis faites la même chose avec une autre inégalité. Les réponses reçues seront la solution du système.

Méthode d'espacement

C'est le moyen le plus simple de résoudre des systèmes.inégalités, et en même temps il est universel et commun. Il est utilisé au lycée, et même plus haut. Son essence réside dans le fait que l'étudiant recherche des écarts d'inégalité sur la droite des nombres, qui est dessinée dans un cahier (ce n'est pas un graphique, mais une simple ligne droite avec des nombres). Là où les écarts d'inégalités se croisent, la solution du système est trouvée. Pour utiliser la méthode d'intervalle, vous devez effectuer les étapes suivantes:

1. Tous les membres de chaque inégalité sont transférés à gauche avec un changement de signe à l'opposé (zéro est écrit à droite).
2. Les inégalités sont écrites séparément, la décision de chacune d’elles est déterminée.
3. Il y a des intersections d'inégalités sur la droite numérique. Tous les chiffres à ces intersections seront la solution.

Quel est le moyen d'utiliser?

Évidemment celui qui semble le plus facile etpratique, mais il existe des cas où les tâches nécessitent une certaine méthode. Le plus souvent, ils disent qu'il est nécessaire de résoudre soit à l'aide d'un graphique, soit à l'aide de la méthode des intervalles. La méthode algébrique et la substitution sont utilisées très rarement ou pas du tout, car elles sont assez complexes et déroutantes. De plus, elles sont plus utilisées pour résoudre des systèmes d'équations plutôt que des inégalités. Vous devez donc recourir aux graphiques et aux intervalles. Ils apportent une visibilité qui ne peut pas contribuer à la mise en œuvre efficace et rapide d'opérations mathématiques.

Si quelque chose ne fonctionne pas

Tout en étudiant un sujet sur l'algèbre,Naturellement, sa compréhension peut poser problème. Et ceci est normal, car notre cerveau est conçu pour qu’il ne puisse pas comprendre le matériel complexe à la fois. Il est souvent nécessaire de relire un paragraphe, d’utiliser l’aide d’un enseignant ou de vous entraîner à résoudre des tâches classiques. Dans notre cas, ils ressemblent par exemple à ceci: "Résoudre le système d’inégalités 3 x + 1 ≥ 0 et 2 x - 1> 3". De cette manière, l'aspiration personnelle, l'aide des personnes extérieures et la pratique aident à comprendre tout sujet complexe.

Reshebnik?

Et un très bon Reshebnik, mais paspour les devoirs de triche, et pour l'auto-assistance. Vous pouvez y trouver un système d’inégalités avec la solution, les regarder (sous forme de modèles), essayer de comprendre exactement comment l’auteur de la solution a géré la tâche, puis essayer de le faire de manière indépendante.

Conclusions

L’algèbre est l’un des sujets les plus difficiles del'école. Bien que pouvez-vous faire? Les mathématiques ont toujours été comme ça: elles sont données facilement à quelqu'un, mais à quelqu'un avec difficulté. Mais dans tous les cas, il convient de rappeler que le programme d’enseignement général est conçu de manière à ce que tout étudiant puisse y faire face. De plus, nous devons garder à l’esprit un grand nombre d’assistants. Certains d'entre eux ont été mentionnés ci-dessus.