Qu'est-ce qu'une intégrale, et quelle est sa signification physique?
L'apparition du concept d'intégrale était due àla nécessité de trouver une fonction antidérivative par rapport à sa dérivée, ainsi que de déterminer la quantité de travail, l'aire des figures complexes, la distance parcourue, avec des paramètres soulignés par des courbes décrites par des formules non linéaires.
Bien sûr
Mais la force peut changer au cours du travail, et dans une sorte de dépendance naturelle. La même situation se produit avec le calcul de la distance parcourue si la vitesse n'est pas constante.
Donc, il est clair à quoi sert une intégrale. Définir comme une somme des produits des valeurs de la fonction de l'incrément infinitésimale de l'argument décrit complètement le sens principal du terme que la zone de la figure délimitée par la ligne supérieure de la fonction, et les bords - la définition des limites.
Jean Gaston Darboux, mathématicien français,la seconde moitié du XIXème siècle a très clairement expliqué ce qu'est une intégrale. Il l'a fait si clairement que, dans l'ensemble, il n'est pas difficile même pour un lycéen de comprendre cette question.
Supposons qu'il y ait une fonction de n'importe quelle forme complexe. y-axe, sur lequel sont déposées la valeur de l'argument, est divisé en petits intervalles, idéalement, ils sont infiniment petit, mais parce que le concept de l'infini est tout à fait abstraite, il suffit d'imaginer que de petits morceaux, dont le montant est généralement désigné par la lettre grecque Δ (delta).
La fonction a été "découpée" en petites briques.
A chaque valeur de l'argument correspond un point suraxe des ordonnées, sur lequel les valeurs correspondantes de la fonction sont tracées. Mais puisque les limites de la section sélectionnée sont deux, alors les valeurs de la fonction seront également deux, plus grandes et plus petites.
La somme des produits de grandes valeurs surL'incrément Δ est appelé la grande somme de Darboux et est noté S. En conséquence, des valeurs plus petites sur la partie bornée multipliée par Δ forment ensemble une petite somme de Darboux. La section elle-même ressemble à un trapèze rectangulaire, puisque la courbure de la ligne de fonction peut être négligée avec un incrément infinitésimal. Le moyen le plus simple de trouver l'aire d'une telle figure géométrique est d'ajouter des produits d'une valeur de plus en plus grande à un Δ-incrément et de diviser par deux, c'est-à-dire de la définir comme la moyenne arithmétique.
C'est l'intégrale de Darboux:
s = Σf (x) Δ est une petite somme;
S = Σf (x + Δ) Δ est une somme importante.
Alors, qu'est-ce qu'une intégrale? La zone délimitée par la ligne de fonction et les limites de la définition seront:
∫f (x) dx = {(S + s) / 2} + c
C'est-à-dire que la moyenne arithmétique des sommes de Darboux, grandes et petites, est une valeur constante qui est annulée par différenciation.
En partant de l'expression géométrique de cetteconcept, la signification physique de l'intégrale devient claire. L'aire de la figure, délimitée par la fonction de vitesse, et délimitée par l'intervalle de temps le long de l'abscisse, sera la longueur du chemin parcouru.
L = ∫f (x) dx sur l'intervalle de t1 à t2,
Où
f (x) est la fonction de vitesse, c'est-à-dire la formule par laquelle elle varie avec le temps;
L est la longueur du trajet;
t1 - heure du début du chemin;
t2 est l'heure de fin du chemin.
Précisément selon le même principe, la grandeur du travail est déterminée, seulement en abscisse, la distance sera tracée, et en ordonnée la grandeur de la force appliquée en chaque point particulier.
