L'intégrale indéfinie. Calcul d'intégrales indéfinies
Une des sections fondamentales de la mathématiqueL'analyse est un calcul intégral. Il couvre le champ d'objets le plus large, où le premier est une intégrale indéfinie. Il convient de la positionner comme une clé qui, même au lycée, révèle un nombre croissant de perspectives et d'opportunités décrites par les mathématiques supérieures.
Apparence
À première vue, l'intégrale semble être totalementmoderne, pertinent, mais dans la pratique, il est apparu en 1800 av. Homeland est officiellement considéré comme l'Egypte, car des preuves antérieures de son existence ne nous sont pas parvenues. En raison du manque d'informations, tout ce temps a été simplement positionné comme un phénomène. Il a une nouvelle fois confirmé le niveau de développement de la science chez les peuples de cette époque. Enfin, les travaux de mathématiciens grecs antiques, datant du 4ème siècle avant JC, ont été trouvés. Ils ont décrit une méthode dans laquelle une intégrale indéfinie était utilisée, dont l'objectif était de trouver le volume ou la surface d'une figure curviligne (plans tridimensionnel et bidimensionnel, respectivement). Le principe de calcul était basé sur la division de la figure originale en composantes infinitésimales, à condition que leur volume (surface) soit déjà connu. Au fil du temps, la méthode a pris de l'ampleur, Archimède l'a utilisée pour rechercher la zone d'une parabole. Des scientifiques de la Chine ancienne ont effectué des calculs similaires au même moment et ils étaient complètement indépendants des autres scientifiques grecs.
Développement
La prochaine percée au 11ème siècle était déjà AD.le travail du savant universel arabe Abu Ali al-Basri, qui a repoussé les limites de ce qui était déjà connu, en déduisant des formules basées sur l'intégrale pour calculer les sommes des séries et des sommes des degrés du premier au quatrième, en utilisant la méthode d'induction mathématique que nous connaissons.
Les esprits des temps modernes admirent comment les anciensLes Égyptiens ont créé d’étonnants monuments d’architecture, sans aucune adaptation particulière, si ce n’est peut-être de leurs mains, mais le pouvoir de l’esprit des scientifiques de cette époque n’est-il pas un moindre miracle? Par rapport au présent, leur vie semble presque primitive, mais la solution des intégrales indéfinies a été dérivée partout et a été utilisée dans la pratique pour un développement ultérieur.
La prochaine étape a eu lieu au XVIe siècle, lorsquele mathématicien italien Cavalieri a dérivé la méthode indivisible que Pierre Fermat a saisie. Ce sont ces deux personnalités qui ont jeté les bases du calcul intégral moderne, ce qui est actuellement connu. Ils ont lié les concepts de différenciation et d'intégration, qui étaient auparavant perçus comme des unités autonomes. De manière générale, les mathématiques de cette époque étaient fragmentées, des particules de conclusions existaient par elles-mêmes et avaient une portée limitée. Le chemin de la combinaison et de la recherche de points de contact était le seul correct à cette époque. Grâce à lui, l’analyse mathématique moderne a pu croître et se développer.
Au fil du temps, tout a changé et la désignationintégrale y compris. En gros, il a été désigné par les scientifiques qui se trouvaient dans cette situation. Par exemple, Newton a utilisé une icône carrée dans laquelle il a placé une fonction intégrable ou l'a simplement assemblée.
Définition formelle
L'intégrale indéfinie dépend directement de la définition d'un primitif, nous allons donc l'examiner en premier.
Antiderivative est la fonction inverse.dérivé, dans la pratique, il est également appelé primitif. Sinon: la primitive de la fonction d est une telle fonction D, dont la dérivée est égale à v <=> V "= v. La recherche de la primitive est le calcul d'une intégrale indéfinie, et ce processus lui-même est appelé intégration.
Exemple:
Fonction s (y) = y3et sa primitive S (y) = (y4/ 4).
L'ensemble de toutes les primitives de la fonction en question est l'intégrale indéfinie, notée comme suit: ∫v (x) dx.
En raison du fait que V (x) n’est que quelques-unsantidérivante de la fonction d'origine, l'expression suivante a lieu: v (x) dx = V (x) + C, où C est une constante Par constante arbitraire, nous entendons toute constante, puisque sa dérivée est zéro.
Propriétés
Les propriétés possédées par l'intégrale indéfinie sont basées sur la définition de base et les propriétés des dérivés.
Considérez les points clés:
- l'intégrale de la dérivée d'une primitive est la primitive elle-même plus une constante arbitraire C
- la dérivée de l'intégrale de la fonction est la fonction d'origine <=> (v (x) dx) "= v (x);
- la constante est déduite du signe de l'intégrale <=> kv (x) dx = kv (x) dx, où k est arbitraire;
- l'intégrale extraite de la somme est identique à la somme des intégrales <=> (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy
Des deux dernières propriétés, on peut conclure que l'intégrale indéfinie est linéaire. Pour cette raison, nous avons: ∫ (kv (y) dy + ∫ lw (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.
Pour consolider, considérons des exemples de résolution d’intégrales indéfinies.
Il est nécessaire de trouver l'intégrale (3sinx + 4cosx) dx:
- (3sinx + 4cosx) dx = 3sinxdx + 4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.
De l’exemple on peut conclure: vous ne savez pas comment résoudre les intégrales indéfinies? Il suffit de trouver toutes les primitives! Mais regardez les principes de la recherche ci-dessous.
Méthodes et exemples
Pour résoudre l'intégrale, vous pouvez recourir aux méthodes suivantes:
- utilisez la table finie;
- intégrer dans les parties;
- intégrer en remplaçant la variable;
- résumant le signe différentiel.
Tableaux
Le moyen le plus facile et le plus agréable. Pour le moment, l'analyse mathématique peut se vanter de tableaux assez volumineux, qui contiennent les formules de base des intégrales indéfinies. En d'autres termes, il existe des modèles dérivés pour vous et pour vous, il ne reste plus qu'à les utiliser. Voici une liste des positions de la table principale sur laquelle vous pouvez afficher presque tous les exemples ayant une solution:
- Dy0dy = C, où C est une constante;
- ∫dy = y + C, où C est une constante;
- ∫yndy = (yn + 1) / (n + 1) + C, où C est une constante et n est un nombre autre que un;
- (1 / y) dy = ln | y | + C, où C est une constante;
- Leydy = ey + C, où C est une constante;
- Kydy = (ky/ ln k) + C, où C est une constante;
- ∫cosydy = siny + C, où C est une constante;
- Inysinydy = -cosy + C, où C est une constante;
- ∫dy / cos2y = tgy + C, où C est une constante;
- ∫dy / sin2y = -ctgy + C, où C est une constante;
- ∫dy / (1 + y2) = arctgy + C, où C est une constante;
- Ydchydy = timide + C, où C est une constante;
- Ydshydy = chy + C, où C est une constante.
Si nécessaire, faites quelques pas, amenez l’intégrale à la vue de table et profitez de la victoire. Exemple: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x sin (5x - 2) + C.
Par la décision, il est clair que, pour l'exemple de tableau, l'intégrale manque d'un facteur 5. Nous l'additionnons, parallèlement à cette multiplication par 1/5, de sorte que l'expression générale ne change pas.
Intégration dans les pièces
Considérons deux fonctions - z (y) et x (y). Ils doivent être continuellement différenciables sur tout le domaine. Par l'une des propriétés de différenciation, on a: d (xz) = xdz + zdx. En intégrant les deux côtés de l'égalité, on obtient: ∫d (xz) = (xdz + zdx) => zx = ∫zdx + ∫xdz.
En réécrivant l'égalité obtenue, on obtient une formule qui décrit la méthode d'intégration en plusieurs parties: ∫zdx = zx - ∫xdz.
Pourquoi est-ce nécessaire? Le fait est que certains exemples peuvent être simplifiés, de manière relative, pour réduire естиzdx à xdz, si cette dernière est proche de la forme tabulaire. En outre, cette formule peut être appliquée plusieurs fois, pour des résultats optimaux.
Comment résoudre les intégrales indéfinies de cette manière:
- besoin de calculer ∫ (s + 1) e2sdès
(X + 1) e2sds = {z = s + 1, dz = ds, y = 1 / 2e2s, dy = e2xds} = ((s + 1) e2s) / 2-1 / 2∫e2sdx = ((s + 1) e2s) / 2-e2s/ 4 + C;
- besoin de calculer lnsds
∫lnsds = {z = lns, dz = ds / s, y = s, dy = ds} = slns - xs x ds / s = slns - ds = slns -s + C = s (lns-1) + C.
Remplacement variable
Ce principe de résolution des intégrales indéfinies n’est pasmoins en demande que les deux précédentes, bien que plus difficile. La méthode est la suivante: soit V (x) l’intégrale d’une fonction v (x). Dans le cas où l'intégrale elle-même dans l'exemple rencontre un composé, la probabilité de confusion et de prendre la mauvaise décision est grande. Pour éviter cela, le passage de la variable x à z est pratiqué, dans lequel l'expression générale est simplifiée visuellement tout en maintenant la dépendance de z sur x.
En langage mathématique, cela ressemble à ceci: v (x) dx = v (y (z)) y "(z) dz = V (z) = V (y-1(x)), où x = y (z) est une permutation. Et bien sûr, la fonction inverse z = y-1(x) décrit complètement la dépendance etinterrelation de variables. Une remarque importante est que le différentiel dx est nécessairement remplacé par un nouveau différentiel dz, car remplacer une variable dans une intégrale indéfinie implique de la remplacer par une variable partout, et pas seulement dans l'intégrande.
Exemple:
- besoin de trouver ∫ (s + 1) / (s2 + 2s - 5) ds
Appliquer la substitution z = (s + 1) / (s2+ 2s-5). Alors dz = 2sds = 2 + 2 (s + 1) ds <=> (s + 1) ds = dz / 2. En conséquence, nous obtenons l'expression suivante, très facile à calculer:
∫ (s + 1) / (s2+ 2s-5) ds = (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln | s2+ 2s-5 | + C;
- il faut trouver l'intégrale 2sesdx
Pour résoudre, réécrivez l'expression sous la forme suivante:
2sesds = ∫ (2e)sds.
Notons a = 2e (cette étape ne remplace pas l’argument, mais s), nous apportons notre intégrale apparemment complexe à la forme tabulaire élémentaire:
∫ (2e)sds = ∫asds = as / lna + C = (2e)s / ln (2e) + C = 2ses / ln (2 + lne) + C = 2ses / (ln2 + 1) + c.
Signe différentiel
Dans l’ensemble, cette méthode d’intégrales indéfinies est le frère jumeau du principe de remplacement variable, bien que le processus de conception diffère. Laissez-nous examiner plus en détail.
Si ∫v (x) dx = V (x) + C et y = z (x) alors v (y) dy = V (y) + C.
De plus, il ne faut pas oublier les transformations intégrales triviales, parmi lesquelles:
- dx = d (x + a), où a est une constante;
- dx = (1 / a) d (ax + b), où a est encore une constante, mais n'est pas égal à zéro;
- xdx = 1 / 2d (x2 + b);
- sinxdx = -d (cosx);
- cosxdx = d (sinx).
Si nous considérons le cas général lors du calcul de l'intégrale indéfinie, les exemples peuvent être résumés sous la formule générale w "(x) dx = dw (x).
Exemples:
- besoin de trouver (2s + 3)2ds, ds = 1 / 2d (2s + 3)
(2s + 3)2ds = 1 / 2∫ (2s + 3)2d (2s + 3) = (1/2) x ((2s + 3)2) / 3 + C = (1/6) x (2s + 3)2 + C;
Tgsds = sins / cossds = d (coss) / coss = -ln | coss | + C.
Aide en ligne
Dans certains cas, le blâme peut êtreou la paresse, ou un besoin urgent, vous pouvez utiliser les astuces en ligne, ou plutôt, utiliser la calculatrice des intégrales indéfinies. Malgré toute la complexité apparente et la controverse des intégrales, leur solution est soumise à un certain algorithme, qui repose sur le principe "sinon ... alors ...".
Bien entendu, des exemples particulièrement complexes de tellesla calculatrice ne sera pas maîtrisée, car il existe des cas dans lesquels la solution doit être trouvée artificiellement, "de force" en introduisant certains éléments dans le processus, car les résultats ne peuvent pas être obtenus par des moyens évidents. En dépit de la nature controversée de cette affirmation, il est vrai que les mathématiques sont en principe une science abstraite et considèrent que la nécessité d’élargir les limites des possibilités est sa tâche première. En effet, selon les théories de déroulement lisses, il est extrêmement difficile de progresser et de se développer. Par conséquent, il ne faut pas supposer que les exemples de résolution d’intégrales indéfinies que nous avons donnés sont au sommet des possibilités. Mais revenons au côté technique. Au moins pour vérifier les calculs, vous pouvez utiliser les services dans lesquels tout a été expliqué avant nous. Si le calcul automatique d'une expression complexe est nécessaire, ils ne le feront pas, vous devrez recourir à un logiciel plus sérieux. Il convient de prêter attention principalement à l'environnement MatLab.
Application
Résoudre des intégrales indéfinies au débutle regard semble être complètement détaché de la réalité, car il est difficile de voir le plan d'application évident. En effet, ils ne peuvent être utilisés directement nulle part ailleurs, mais ils sont considérés comme un élément intermédiaire nécessaire dans le processus de recherche des solutions utilisées dans la pratique. L’intégration est donc une différenciation dans le dos, grâce à laquelle elle participe activement au processus de résolution des équations.
À leur tour, ces équations ontinfluence directe sur la solution des problèmes mécaniques, le calcul des trajectoires et la conductivité thermique - bref, tout ce qui constitue le présent et constitue le futur. L'intégrale indéfinie, dont nous avons examiné les exemples ci-dessus, n'est triviale qu'au premier abord, car elle constitue la base de nouvelles découvertes.
